Para simplificar la pregunta, ignoraremos los años bisiestos. Una persona razonable e inteligente contestaría que las posibilidades no alcanzan el 100% hasta que no hubiera 366 personas en la habitación (es decir, el número de días en el año +1)… y 40 es sólo el 11% de 366, con lo que la posibilidad de que dos cumplieran el mismo día de ese grupo sería sólo de un 11%. En realidad es incorrecto, ya que la posibilidad sería de un 90%. Este fenómeno se llama "Paradoja del Cumpleaños" y lo explicamos a continuación.
Si el grupo de personas se incremente a 60, las posibilidades suben más allá del 99%. Esto significa que con sólo 60 personas en una habitación, incluso sabiendo que hay 365 posibles días de cumpleaños, es casi seguro que 2 de ellas cumplan el mismo día. Después de hacer éstos enunciados demostremos matemáticamente con números y fórmulas lo anteriormente expuesto.
Se puede explicar éste fenómeno de una manera que resulte intuitiva. Puedes considerar el hecho de que 40 personas pueden emparejarse en 780 formás unicas, y lo que queremos es que al menos una de esos posibles emparejamientos compartan un día en concreto de cumpleaños. Pero eso no satisface la explicación, así que nos meteremos de lleno con los números.
| # de personas | Posibles combinaciones de cumpleaños | # de esas combinaciones donde al menos 2 cumpleaños caen el mismo día | % de combinaciones donde dos personas tienen el mismo cumpleaños |
|---|---|---|---|
| 1 | 365 | 0 | 0.0% |
| 2 | 133,225 | 365 | 0.2% |
| 3 | 48,627,125 | 398,945 | 0.8% |
| 4 | 17,748,900,625 | 290,299,465 | 1.6% |
| 5 | 6,478,348,728,125 | 175,793,709,365 | 2.7% |
| 6 | 2,364,597,285,765,625 | 95,677,479,012,025 | 4.0% |
| 7 | 863,078,009,304,453,125 | 48,535,798,679,910,725 | 5.6% |
| 8 | 315,023,473,396,125,390,625 | 23,417,361,992,539,211,425 | 7.4% |
| 9 | (fuera de cálculo ...) | 5318008 | — |
Sólo calculando hasta 8 personas, vemos que de 315 trillones de posibles combinaciones de cumpleaños que el grupo tiene, el 7.4% de los casos -o uno de cada trece- resultan en que 2 de ellos tienen el mismo cumpleaños. A cada persona que tu añades, las posibilidades no sólo crecen linealmente, sino que la curva crece rápidamente. Este crecimiento exponencial crece hasta unas 23 personas, donde la curva alcanza su 50%, y el ratio de crecimiento empieza a caer. La curva prácticamente se pone plana cuando se alcanzan las 57 personas, donde ya las posibilidades rondan el 99%.
¿Esto significa que puedes entrar en una clase con 40 estudiantes y retarles a que 2 de ellos en la habitación tengan el mismo cumpleaños, y comprobarás que ganarás en un 90% de las veces?.
No exactamente, en la vida real, las matemáticas no son muy bienvenidas, ya que los cumpleaños no están perfectamente distribuidos a lo largo del año. Mucha gente nace en primavera, así que los calculos empezarían a no encajar. Además, debido a políticas de hospitales y operaciones, muchos bebés nacen los Lunes o los Martes en lugar del fín de semana, con lo que no nos sirve mucho lo explicado anteriormente. Dependiendo del grupo de personas y cómo están sus cumpleaños distribuidos, los resultados pueden variar ampliamente. Pero la mayoría de las veces, tendrás siempre muchas posibilidades de ganar.
Pero hay al menos una aplicación altamente práctica para el fenómeno numérico: los ordenadores. Hay un programa de ordenador de criptografía clásica llamado "el ataque del cumpleaños" que trabaja con la paradoja del cumpleaños. Usando éste método, un programador puede guardar los resultados del cumpleaños en memoria para decrementar el tiempo total de proceso de cálculo la hacer algunas cosas como intentar romper la seguridad de una firma digital.
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