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La paradoja del cumpleaños

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Nunca he tenido una buena relación con las , pero vamos a tratar el siguiente problema: asumamos por un momento que los de la gente están distribuidos a lo largo del año, con lo que si se sentaran 40 personas en una habitación… ¿qué posibilidades habría de que dos de ellas cumplieran el mismo día?

Para simplificar la pregunta, ignoraremos los años bisiestos. Una persona razonable e inteligente contestaría que las posibilidades no alcanzan el 100% hasta que no hubiera 366 personas en la habitación (es decir, el número de días en el año +1)… y 40 es sólo el 11% de 366, con lo que la posibilidad de que dos cumplieran el mismo día de ese grupo sería sólo de un 11%. En realidad es incorrecto, ya que la posibilidad sería de un 90%. Este fenómeno se llama « del Cumpleaños» y lo explicamos a continuación.

Si el grupo de personas se incremente a 60, las posibilidades suben más allá del 99%. Esto significa que con sólo 60 personas en una habitación, incluso sabiendo que hay 365 posibles días de cumpleaños, es casi seguro que 2 de ellas cumplan el mismo día. Después de hacer éstos enunciados demostremos matemáticamente con números y fórmulas lo anteriormente expuesto.

Se puede explicar éste fenómeno de una manera que resulte intuitiva. Puedes considerar el hecho de que 40 personas pueden emparejarse en 780 formás unicas, y lo que queremos es que al menos una de esos posibles emparejamientos compartan un día en concreto de cumpleaños. Pero eso no satisface la explicación, así que nos meteremos de lleno con los números.

# de personasPosibles combinaciones de cumpleaños# de esas combinaciones donde al menos 2 cumpleaños caen el mismo día% de combinaciones donde dos personas tienen el mismo cumpleaños
136500.0%
2133,2253650.2%
348,627,125398,9450.8%
417,748,900,625290,299,4651.6%
56,478,348,728,125175,793,709,3652.7%
62,364,597,285,765,62595,677,479,012,0254.0%
7863,078,009,304,453,12548,535,798,679,910,7255.6%
8315,023,473,396,125,390,62523,417,361,992,539,211,4257.4%
9(fuera de cálculo ...)5318008

Sólo calculando hasta 8 personas, vemos que de 315 trillones de posibles combinaciones de cumpleaños que el grupo tiene, el 7.4% de los casos -o uno de cada trece- resultan en que 2 de ellos tienen el mismo cumpleaños. A cada persona que tu añades, las posibilidades no sólo crecen linealmente, sino que la curva crece rápidamente. Este crecimiento exponencial crece hasta unas 23 personas, donde la curva alcanza su 50%, y el ratio de crecimiento empieza a caer. La curva prácticamente se pone plana cuando se alcanzan las 57 personas, donde ya las posibilidades rondan el 99%.

¿Esto significa que puedes entrar en una clase con 40 estudiantes y retarles a que 2 de ellos en la habitación tengan el mismo cumpleaños, y comprobarás que ganarás en un 90% de las veces?.

No exactamente, en la vida real, las matemáticas no son muy bienvenidas, ya que los cumpleaños no están perfectamente distribuidos a lo largo del año. Mucha gente nace en primavera, así que los calculos empezarían a no encajar. Además, debido a políticas de hospitales y operaciones, muchos bebés nacen los Lunes o los Martes en lugar del fín de semana, con lo que no nos sirve mucho lo explicado anteriormente. Dependiendo del grupo de personas y cómo están sus cumpleaños distribuidos, los resultados pueden variar ampliamente. Pero la mayoría de las veces, tendrás siempre muchas posibilidades de ganar.

Pero hay al menos una aplicación altamente práctica para el fenómeno numérico: los ordenadores. Hay un programa de ordenador de criptografía clásica llamado «el ataque del cumpleaños» que trabaja con la paradoja del cumpleaños. Usando éste método, un programador puede guardar los resultados del cumpleaños en memoria para decrementar el tiempo total de proceso de cálculo la hacer algunas cosas como intentar romper la seguridad de una firma digital.

, ,

Alex

Ciudadano del mundo. Me encanta llevarme mi cámara fotográfica para inmortalizar esencias y experiencias en lugares diferentes, donde la gente vive diferente, pero donde todos disfrutamos cada día de puestas de un mismo Sol.

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12 Comments

  1. Papá Oso

    -> En estos casos suele ser más fácil calcular las probabilidades de que NO pase lo que estamos esperando (luego es muy fácil recuperar la probabilidad de que SI pase).

    -> Recuerdo que la probabilidad de que pase algo se calculá así:

    Suponiendo que todos los casos tienen la misma probabilidad de ocurrir, la probabilidad de que pase un suceso se define como:

    Casos en los que pasa el suceso / total de casos

    Ejemplo: tirar un dado y que salga par

    Casos en los que pasa el suceso (salga par)= 3 (que son el 2, el 4 y el 6)
    Casos totales = 6 (el 1, el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6)

    Probabilidad de que salga par= 3/6 = 1/2 = 50%

    -> Ahora en nuestro caso:

    Probabilidad de que en N personas NO haya dos que cumplan años el mismo día del año (un año = 365 días):

    N=1 => 365/365 => 100%
    N=2 => 365*364/365*365 =132860/133225 = 99, 73%
    … y así hasta…
    N=40 => 365!/ ((365-40)! * 365^40) = 10,88%
    … más en general …
    N=n => 365! / ((365-n)! * 365^n)

    donde 365! es 365*364*363*…*4*3*2*1
    y 365^40 es 365*365*…40 veces…*365*365

    -> Por último si queremos recuperar la probabilidad de que SI pase el suceso tan solo nos queda fijarnos en que la probabilidad de que Pase algo (en porcentaje) es 100 menos la probabilidad de que NO pase.

    Así pues si la probabilidad de que No Pase para N=40 personas era aproximadamente de un 10,88%, la probabilidad de que SI haya al menos dos Personas que han nacido el mismo día es de 100-10,88 = 89,12%

    -> Digo «aproximadamente» porque he hecho los cálculos con la calculadora de Windows y como se manejan números muy grandes dudo que sea 100% fiable.

    PD para los autores: de aquí a unos días seguramente colgaré un post en mi blog aprovechando esta parrafada que acabo de escribir, os importa que copie parte de vuestro post a modo de introducción? (citándoos evidentemente)

    20 de febrero de 2006
  2. Alex

    Buena explicación, claro que puedes referenciarlo ;)

    20 de febrero de 2006
  3. Paul

    Muy interesante, además me ha sorprendido mucho leer éste artículo siendo hoy mi cumpleaños. Bonita casualidad…

    20 de febrero de 2006
  4. GABRIEL

    ¿como se llaman las personas que nacen el mismo dia?

    4 de enero de 2007
  5. Alex

    coincidentes ? :)

    4 de enero de 2007
  6. samuel

    HOYGAN, YO CUMPLO MIS AÑOS EN EL SIETE DE ENERO, Y MI PAPA NO PUEDE COMPRARME UNA COMPUTADORA PARA MI SOLO Y TENGO QUE IR A LA BIBLITECA QUE ESTA LLENA DE RATAS Y DE BICHOS Y DE COSAS MALAS. YA QUE HOY COINCIDE QUE ES MI CUMPLEAÑOS QUE ALGUIEN ME REGALE UNA COMPUTADORA PARA QUE ASI PUEDA HACER LOS TRABAJOS DE LA ESCUELA Y APRENDER Y GANAR DINERO Y ASI SE LA DEVUELVO UN DIA SEGURO!

    7 de enero de 2007
  7. Enrique

    Tengo la inquietud de saber cómo se les dice a las personas que nacen en una fecha determinada pero en diferente año.
    Quiero decir si naci en Enero 17, 1950 y conocí alguien nacido en esa fecha pero en 1960, cómo puedo decirle (amistosamente).

    Así como personas con el mismo nombre les decimos «tocayo», al padrino de un hijo «compadre», etc.

    gracias

    17 de enero de 2007
  8. Serrano

    Serían coetanios

    21 de febrero de 2007
  9. mogui

    alguien conoce la paradoja de las conchas calientes??
    se dice que en una habitacion con 20 mujeres por lo menos hay 2 que tienen la chocha humedeciente con unas ganas intensas de follar y que segun la paradoja.. si en la habitacion hubiese un pepino se lo meterian rebosantes de gusto… ahora si hay una variable que puede hacer que esta paradoja no se cumpla y si alguna de estas putas esta consumiendo pastillas anticonceptivas o si es una frigida de mierda que siendo asi aunque se metieran un matafuegos no las estimularia… esta comprobado por la universidad de machachusets por el celebre doctor walters copito
    saludos

    5 de abril de 2007
  10. jose manuel marquez

    hola buenas noches a todos mi comentario es que me siento dichoso y la vez confundido he concevido 3 hijos de los cuale solo me sobreviven 2 pero lo curioso es que ellos nacieron el dia 24 de octubre de los que me sobreviven el mayor tiene 13 años y el menor acaba de nacer este 24 de octubre osea a penas hace una semana jejeje estoy feliz…. acepto comentarios

    2 de noviembre de 2007
  11. Thredith

    La paradoja de cumpleaños está bien pero… de cuánto es la probabilidad de conocer a alguien que no sólo cumpla el mismo día que tú, sino que además, haya nacido en el mismo año? O sea, la posibilidad de que alguien más tenga tu exacta fecha de nacimiento?

    24 de octubre de 2010
  12. R

    Mi pareja y yo cumplimos años el mismo día, casualidad? destino?

    29 de junio de 2011